简介

若随机变量 XX 服从超几何分布，记作 X∼H(N,n,M)X\sim H(N,n,M)，则有：

P(X=k)=(Mk)(N−Mn−k)(Nn),k=0,1,…,nP(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},k=0,1,\dots,n

为了避免讨论边界情况，这里假设 (nm)=0,m>n\binom{n}{m}=0,m>n，所以上面的 kk 直接取遍 0∼n0\sim n，这样不符要求的概率为 00，并不会对结论造成影响。在期望和方差公式之前，首先给出一些组合数的公式及证明。

  1. 组合数与某个数相乘的公式，一个常见的 trick，可以将变量乘组合数转化为常量乘组合数：

x(nx)=xn!x!(n−x)!=n(n−1)!(x−1)!(n−x)!=n(n−1x−1) x\binom{n}{x}=x\frac{n!}{x!(n-x)!}=n\frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}=n\binom{n-1}{x-1}

  1. 范德蒙德卷积：

    ∑i=0k(ni)(mk−i)=(n+mk)\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}

    这可以用二项式定理来证明：

    [xk](1+x)n(1+x)m=∑i=0k(ni)(mk−i)[xk](1+x)n+m=(n+mk)\begin{aligned} \text{[}x^k](1+x)^{n}(1+x)^{m}&=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}\\ [x^k](1+x)^{n+m}&=\binom{n+m}{k} \end{aligned}

  2. 期望的线性性质：

    对于随机变量 X,YX,Y 都有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，我的理解是本质上为全概率公式：

    E(X+Y)=∑x∑y(x+y)P(X=x,Y=y)=∑xx∑yP(X=x,Y=y)+∑yy∑xP(X=x,Y=y)=∑xxP(X=x)+∑yyP(Y=y)=E(X)+E(Y)\begin{aligned} E(X+Y)&=\sum_{x}\sum_{y}(x+y)P(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x}x\sum_yP(X=x,Y=y)+\sum_{y}y\sum_xP(X=x,Y=y)\\ &=\sum_{x}xP(X=x)+\sum_y yP(Y=y)\\ &=E(X)+E(Y) \end{aligned}

    注意这个不要求 X,YX,Y 独立。

用这两个公式就可以开始推导了。

期望

如果记 p=MNp=\frac{M}{N}，那么其形式上和二项分布的期望相同，即 E(X)=npE(X)=np，下面是推导过程：

E(X)=∑x=0nxP(X=x)=∑x=1nx(Mx)(N−Mn−x)(Nn)=M(Nn)∑x=1n(M−1x−1)(N−Mn−x)=M(Nn)(N−1n−1)=Mn!(N−n)!N!(N−1)!(n−1)!(N−n)!=nMN\begin{aligned} E(X)&=\sum_{x=0}^{n} xP(X=x)\\ &=\sum_{x=1}^nx\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\ &=\frac{M}{\binom{N}{n}}\sum_{x=1}^n\binom{M-1}{x-1}\binom{N-M}{n-x}\\ &=\frac{M}{\binom{N}{n}}\binom{N-1}{n-1}\\ &=M\frac{n!(N-n)!}{N!}\frac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!}\\ &=n\frac{M}{N} \end{aligned}

方差

这个形式相较于二项分布的 D(X)=np(1−p)D(X)=np(1-p) 就比较丑了，对于 X∼H(N,n,M)X\sim H(N,n,M) 来说，有 D(X)=nMN(N−n)(N−M)N(N−1)D(X)=n\frac{M}{N}\frac{(N-n)(N-M)}{N(N-1)}，这也能看出来推导过程肯定不是那么简单的。

D(X)=E(X2)−E2(X)=E(X(X−1))+E(X)−E2(X)=∑x=2nx(x−1)(Mx)(N−Mn−x)(Nn)+nMN−n2M2N2=M(M−1)(Nn)∑x=2n(M−2x−2)(N−Mn−x)+nMN−n2M2N2=M(M−1)(N−2)!(n−2)!(N−n)!n!(N−n)!N!+nMN−n2M2N2=M(M−1)n(n−1)N(N−1)+nMN−n2M2N2=nMN[(M−1)(n−1)N−1+1−nMN]=nMNN(M−1)(n−1)+N(N−1)−nM(N−1)N(N−1)=nMN(N−M)(N−n)N(N−1)\begin{aligned} D(X)&=E(X^2)-E^2(X)\\ &=E(X(X-1))+E(X)-E^2(X)\\ &=\sum_{x=2}^{n}x(x-1)\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}}+n\frac{M}{N}-n^2\frac{M^2}{N^2}\\ &=\frac{M(M-1)}{\binom{N}{n}}\sum_{x=2}^{n}\binom{M-2}{x-2}\binom{N-M}{n-x}+n\frac{M}{N}-n^2\frac{M^2}{N^2}\\ &=M(M-1)\frac{(N-2)!}{(n-2)!(N-n)!}\frac{n!(N-n)!}{N!}+n\frac{M}{N}-n^2\frac{M^2}{N^2}\\ &=M(M-1)\frac{n(n-1)}{N(N-1)}+n\frac{M}{N}-n^2\frac{M^2}{N^2}\\ &=n\frac{M}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1}+1-\frac{nM}{N}]\\ &=n\frac{M}{N}\frac{N(M-1)(n-1)+N(N-1)-nM(N-1)}{N(N-1)}\\ &=n\frac{M}{N}\frac{(N-M)(N-n)}{N(N-1)} \end{aligned}

本质上是连用两次组合数和变量乘积的性质。