幂平均

若 pp 为非零实数，对于正实数 x1,…,xnx_1,\dots,x_n 的 pp 次幂平均为：

Mp(x1,…,xn)=(1n∑i=1nxip)1pM_p(x_1,\dots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}

特别地，给出 M0(x1,…,xn)M_0(x_1,\dots,x_n) 的定义，中间用一步洛必达即可：

M0(x1,…,xn)=lim⁡p→0Mp(x1,…,xn)=lim⁡p→0(1n∑i=1nxip)1p=lim⁡p→0exp⁡(ln⁡(1n∑i=1nxip)p)=lim⁡p→0exp⁡(1n∑i=1nxipln⁡xi1n∑j=1nxjp)=exp⁡(1n∑i=1nln⁡xi)=(∏i=1nxi)1n\begin{aligned} M_0(x_1,\dots,x_n)&=\lim_{p\to 0}M_p(x_1,\dots,x_n)\\ &=\lim_{p\to 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &=\lim_{p\to 0}\exp\left(\frac{\ln(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^p)}{p}\right)\\ &=\lim_{p\to 0}\exp\left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\ln x_i}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j^p}\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln x_i\right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}} \end{aligned}

同时，给出 M+∞(x1,…,xn)M_{+\infin}(x_1,\dots,x_n) 的定义，设 xk=max⁡{x1…,xn}x_k=\max\{x_1\dots,x_n\} 有：

M+∞(x1,…,xn)=lim⁡p→+∞Mp(x1,…,xn)=lim⁡p→+∞(1n∑i=1nxip)1p=lim⁡p→+∞(xkpn∑i=1n(xixk)p)1p=xk=max⁡{x1,…,xn}\begin{aligned} M_{+\infin}(x_1,\dots,x_n)&=\lim_{p\to +\infin} M_p(x_1,\dots,x_n)\\ &=\lim_{p\to+\infin}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &=\lim_{p\to +\infin}\left(\frac{x_k^p}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{x_k}\right)^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &=x_k=\max\{x_1,\dots,x_n\} \end{aligned}

类似地，有 M−∞(x1,…,xn)=min⁡{x1,…,xn}M_{-\infin}(x_1,\dots,x_n)=\min\{x_1,\dots,x_n\}。

幂平均不等式

对于实数 p,qp,q 若 p<qp<q 则有：

Mp(x1,…,xn)≤Mq(x1,…,xn)M_p(x_1,\dots,x_n)\le M_q(x_1,\dots,x_n)

下面分步骤证明这个不等式。

步骤 1

先证与 00 相关的不等式，若 pp 为正实数，有：

M−p(x1,…,xn)≤M0(x1,…,xn)≤Mp(x1,…,xn)M_{-p}(x_1,\dots,x_n)\le M_0(x_1,\dots,x_n)\le M_{p}(x_1,\dots,x_n)

即证明：

(1n∑i=1nxi−p)−1p≤(∏i=1nxi)1n≤(1n∑i=1nxip)1p\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{-p}\right)^{-\frac{1}{p}}\le \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}\le \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}

根据 Jensen 不等式，有：

1n∑i=1nln⁡xi≤ln⁡(1n∑i=1nxi)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i\le \ln\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right)

两边取指数，可以得到：

∏i=1nxi1n≤1n∑i=1nxi\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{1}{n}} \le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

考虑 xi←xipx_i\gets x_i^p，得到：

∏i=1nxipn≤1n∑i=1nxip\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{p}{n}} \le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p

两边取 1p\frac{1}{p} 次幂，有：

(∏i=1nxi)1n≤(1n∑i=1nxip)1p\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}\le \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}

当且仅当 x1=⋯=xnx_1=\dots=x_n 取等，于是原式得证。对于 −p-p 同理，于是 Mp(x1,…,xn)M_p(x_1,\dots,x_n) 与 M0(x1,…,xn)M_0(x_1,\dots,x_n) 的关系得证。

步骤 2

对于实数 0<p<q0<p<q，要证明幂平均不等式成立即证明：

(1n∑i=1nxip)1p≤(1n∑i=1nxiq)1q\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\le \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^q\right)^{\frac{1}{q}}

两边取 qq 次幂，即证明：

(1n∑i=1nxip)qp≤1n∑i=1nxiq\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{q}{p}}\le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^q

考虑函数 f(x)=xqpf(x)=x^{\frac{q}{p}}，有 f′′(x)=qp(qp−1)xqp−2>0f''(x)=\frac{q}{p}(\frac{q}{p}-1)x^{\frac{q}{p}-2}>0，故 f(x)f(x) 是下凸的，利用 Jensen 不等式可以得到：

f(1n∑i=1nxip)≤1n∑i=1nf(xip)=1n∑i=1nxiqf\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)\le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i^p)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^q

当且仅当 x1=⋯=xnx_1=\dots=x_n 取等，于是原式得证。

步骤 3

对于实数 −p<−q<0-p<-q<0，证明：

(1n∑i=1n1xip)−1p≤(1n∑i=1n1xiq)−1q\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^p}\right)^{-\frac{1}{p}}\le \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^q}\right)^{-\frac{1}{q}}

两边取倒数，得到：

(1n∑i=1n(1xi)p)1p≥(1n∑i=1n(1xi)q)1q\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\frac{1}{x_i})^p\right)^{\frac{1}{p}}\ge \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\frac{1}{x_i})^q\right)^{\frac{1}{q}}

利用上面已经证明过的 0<q<p0<q<p 的结论得证。

步骤 4

对于实数 p<0<qp<0<q，以 M0(x1,…,xn)M_0(x_1,\dots,x_n) 为中间值同样可以证明幂平均不等式。