弧微分

这里简要给出过程，虽然不是特别严谨，但理解起来容易就好。

对于上图可以得出：

ΔsΔx=∣AB⏠∣Δx=∣AB⏠∣2∣AB∣2⋅∣AB∣2(Δx)2=∣AB⏠∣2∣AB∣2⋅(Δx)2+(Δy)2(Δx)2=∣AB⏠∣2∣AB∣2⋅[1+(ΔyΔx)2]\begin{aligned} \frac{\Delta s}{\Delta x} &= \frac{|\overgroup{AB}|}{\Delta x}\\ &=\sqrt{\frac{|\overgroup{AB}|^2}{|AB|^2}\cdot\frac{|AB|^2}{(\Delta x)^2}}\\ &=\sqrt{\frac{|\overgroup{AB}|^2}{|AB|^2}\cdot\frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}}\\ &=\sqrt{\frac{|\overgroup{AB}|^2}{|AB|^2}\cdot[1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2]}\\ \end{aligned}

令 Δx→0\Delta x \to 0 此时 ∣AB⏠∣|\overgroup{AB}| 与 ∣AB∣|AB| 之比应当为 1，那么简单整理后可得到弧微分公式：

ds=1+y′2dx\mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x

圆锥

先来一个最简单的试试手。

体积

将其分割为无限多个圆柱，分别求出体积，然后用定积分可以求得公式：

dV=πy2dx=πR2h2x2dxV=∫0hπR2h2x2dx=πR2h2⋅13x3∣0h=13πR2h\begin{aligned} \mathrm{d}V&=\pi y^2\mathrm{d}x\\ &=\pi\frac{R^2}{h^2}x^2\mathrm{d}x \\ V&=\int_0^h\pi\frac{R^2}{h^2}x^2\mathrm{d}x\\ &=\pi\frac{R^2}{h^2}\cdot\frac{1}{3}x^3\bigg|_0^h\\ &=\frac{1}{3}\pi R^2h \end{aligned}

侧面积

对于侧面积，这里注意要使用 ds\mathrm{d}s 作为圆柱的高，而不能使用 dx\mathrm{d}x，如果用 dx\mathrm{d}x 最后积出的结果是一个圆柱而不是圆锥：

dS=2πyds=2πRh1+(Rh)2xdx=2πRh2lxdxS=∫0h2πRh2lxdx=2πRh2l⋅12x2∣0h=πRl\begin{aligned} \mathrm{d}S&=2\pi y\mathrm{d}s\\ &=2\pi \frac{R}{h} \sqrt{1+(\frac{R}{h})^2}x\mathrm{d}x\\ &=2\pi \frac{R}{h^2}lxdx\\ S&=\int_0^h2\pi \frac{R}{h^2}lxdx\\ &=2\pi\frac{R}{h^2}l\cdot \frac{1}{2}x^2\bigg|_0^h\\ &=\pi Rl \end{aligned}

圆台

和圆锥的推导过程类似。

体积

dV=πy2dx=π[(R−r)2h2x2+2(R−r)rhx+r2]dx=π(R2−2Rr+r2h2x2+2Rr−2r2hx+r2)dxV=∫0hπ(R2−2Rr+r2h2x2+2Rr−2r2hx+r2)dx=π(R2−2Rr+r23h2x3+Rr−r2hx2+r2x)∣0h=πh(R2−2Rr+r23+Rr−r2+r2)=13πh(R2+Rr+r2)\begin{aligned} \mathrm{d}V&=\pi y^2\mathrm{d}x\\ &=\pi[\frac{(R-r)^2}{h^2}x^2+\frac{2(R-r)r}{h}x+r^2]\mathrm{d}x \\ &=\pi(\frac{R^2-2Rr+r^2}{h^2}x^2+\frac{2Rr-2r^2}{h}x+r^2)dx\\ V&=\int_0^h\pi(\frac{R^2-2Rr+r^2}{h^2}x^2+\frac{2Rr-2r^2}{h}x+r^2)dx\\ &=\pi(\frac{R^2-2Rr+r^2}{3h^2}x^3+\frac{Rr-r^2}{h}x^2+r^2x)\bigg|_0^h\\ &=\pi h(\frac{R^2-2Rr+r^2}{3}+Rr-r^2+r^2)\\ &=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2) \end{aligned}

侧面积

同样地，要使用弧微分：

dS=2πyds=2π(R−rhx+r)1+(R−rh)2dx=2πlh(R−rhx+r)dxS=∫0h2πlh(R−rhx+r)dx=2πlh(R−r2hx2+rx)∣0h=πl(R+r)\begin{aligned} \mathrm{d}S&=2\pi y\rm{d}s\\ &=2\pi(\frac{R-r}{h}x+r)\sqrt{1+(\frac{R-r}{h})^2}dx\\ &=2\pi\frac{l}{h}(\frac{R-r}{h}x+r)dx\\ S&=\int_0^h2\pi\frac{l}{h}(\frac{R-r}{h}x+r)dx\\ &=2\pi\frac{l}{h}(\frac{R-r}{2h}x^2+rx)\bigg|_0^h\\ &=\pi l(R+r) \end{aligned}

球

这里给出两种方法，可以用参数方程最终对 θ\theta 积分，也可以对 xx 积分，权当练习。

写出圆的参数方程：

{x=Rcos⁡θy=Rsin⁡θ\left\{\begin{array}{lr} x=R\cos\theta\\ y=R\sin\theta \end{array} \right.

由于 x∈[−R,R]x \in [-R, R] 则 θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] 且由参数方程求导法则有：

y′=dydx=dydθdxdθ=−1tan⁡θy'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}}=-\frac{1}{\tan\theta}

体积

可以不用参数方程，直接求：

dV=πy2dx=π(R2−x2)dxV=∫−RRπ(R2−x2)dx=π(R2x−13x3)∣−RR=43πR3\begin{aligned} \mathrm{d}V&=\pi y^2\mathrm{d}x\\ &=\pi(R^2-x^2)\mathrm{d}x\\ V&=\int_{-R}^R\pi(R^2-x^2)\mathrm{d}x\\ &=\pi(R^2x-\frac{1}{3}x^3)\bigg|_{-R}^R\\ &=\frac{4}{3}\pi R^3 \end{aligned}

也可以用参数方程求，这里用到了换元积分法，而且对 θ\theta 积分时应当是从 π\pi 到 00，对应 xx 从 −R-R 到 RR：

dV=πy2dx=−πR3sin⁡3θdθV=∫π0(−πR3sin⁡3θ)dθ=πR3∫0πsin⁡3θdθ=πR3∫0πsin⁡θ(1−cos⁡2θ)dθ=πR3∫0π(cos⁡2θ−1)d(cos⁡θ)=πR3(13cos⁡3θ−cos⁡θ)∣0π=43πR3\begin{aligned} \mathrm{d}V&=\pi y^2\mathrm{d}x\\ &=-\pi R^3\sin^3\theta\mathrm{d}\theta\\ V&=\int_\pi^0(-\pi R^3\sin^3\theta)\mathrm{d}\theta\\ &=\pi R^3\int_0^\pi\sin^3\theta\mathrm{d}\theta\\ &=\pi R^3\int_0^\pi \sin\theta(1-\cos^2\theta)\mathrm{d}\theta\\ &=\pi R^3\int_0^\pi(\cos^2\theta-1)\mathrm{d}(\cos \theta)\\ &=\pi R^3(\frac{1}{3}\cos^3\theta-\cos\theta)\bigg|_0^\pi\\ &=\frac{4}{3}\pi R^3 \end{aligned}

表面积

虽然第一个方法不对 θ\theta 积分，但还是借用了一下参数方程列关系式：

dS=2πyds=2πRsin⁡θ1+1tan⁡2θdx=2πRdxS=∫−RR2πRdx=4πR2\begin{aligned} \mathrm{d}S&=2\pi y\mathrm{d}s\\ &=2\pi R\sin\theta\sqrt{1+\frac{1}{\tan^2\theta}}\mathrm{d}x\\ &=2\pi R\mathrm{d}x\\ S&=\int_{-R}^R2\pi R\mathrm{d}x\\ &=4\pi R^2 \end{aligned}

参数方程，也是从 π\pi 到 00 积：

dS=2πyds=2πRsin⁡θ1+1tan⁡2θdx=−2πR2sin⁡θdθS=∫π0(−2πR2sin⁡θ)dθ=2πR2∫0πsin⁡θdθ=−2πR2cos⁡θ∣0π=4πR2\begin{aligned} \mathrm{d}S&=2\pi y\mathrm{d}s\\ &=2\pi R\sin\theta\sqrt{1+\frac{1}{\tan^2\theta}}\mathrm{d}x\\ &=-2\pi R^2\sin\theta\mathrm{d}\theta\\ S&=\int_{\pi}^{0}(-2\pi R^2\sin\theta)\mathrm{d}\theta\\ &=2\pi R^2\int_{0}^{\pi}\sin\theta\mathrm{d}\theta\\ &=-2\pi R^2\cos\theta\bigg|_0^{\pi}\\ &=4\pi R^2 \end{aligned}