简介

高中物理课本上提到过折射定律，但是没有推导过程，即下面的这个式子：

n2n1=sin⁡θ1sin⁡θ2=v1v2\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}

这里由最短时间原理入手推导一下这个等式，原理就是求个导就结束了。

构造模型

这里偷个懒，直接在纸上画了：

Model

可以容易列出时间的等式：

t=a2+x2v1+b2+(1−x)2v2t=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(1-x)^2}}{v_2}

根据最短时间原理，tt 一定取得最小值，那么就有此处导数为 00，即：

dtdx=xv1a2+x2−1−xv2b2+(1−x)2=0\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{1-x}{v_2\sqrt{b^2+(1-x)^2}}=0

可以看出：

sin⁡θ1=xa2+x2sin⁡θ2=1−xb2+(1−x)2\begin{aligned} \sin\theta_1&=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\\ \sin\theta_2&=\frac{1-x}{\sqrt{b^2+(1-x)^2}} \end{aligned}

于是就有最开始的式子：

sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}

推导结束。