简介

本文讨论电荷均匀分布的圆盘，在过盘心且垂直于盘面的轴线上所产生的场强，在中学物理中可以视为集中于盘心的点电荷的原理。

为了分析这个问题，需要先考虑圆环在轴线上产生的场强。

偷个懒，直接归到数学里面了。

圆环

正电荷 qq 均匀分布在半径为 RR 的圆环上，计算过环心且垂直于环面轴线上任意一点 PP 的场强。

图源高等教育出版社物理学第七版，下同。

这道题在中学物理中就有涉及（起码我的物理老师讲过），这里重新审视一下这道题目。

在环上取电荷元 dq\mathrm{d}q，其对 PP 产生的场强大小 dE\mathrm{d}E 为：

dE=14πε0dqr2\mathrm{d}E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\mathrm{d}q}{r^2}

根据对称性，在圆环上任意选一个点，都能选出根据环心对称后的一点，它们对 PP 产生的场强在垂直 xx 轴的分量互相抵消，即 ∫LdE⊥⃗=0⃗\int_L \mathrm{d}\vec{E_{\perp}}=\vec{0} 因此整个圆环对 PP 产生的场强方向沿 xx 轴正方向。

因此，在 PP 点的场强是由在 xx 轴上的分量叠加形成的，且 dEx=dEcos⁡θ\mathrm{d}E_x=\mathrm{d}E\cos\theta，那么 PP 点的场强为：

E=∫LdEx=cos⁡θ4πε0r2∫Ldq=xq4πε0(x2+R2)32E=\int_L\mathrm{d}E_x=\frac{\cos\theta}{4\pi \varepsilon_0r^2}\int_L\mathrm{d}q=\frac{xq}{4\pi\varepsilon_0(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}

这里只是把 cos⁡θ\cos\theta 和 rr 用 x,Rx, R 表示了而已，接下来分析圆盘。

圆盘

半径为 RR，电荷均匀分布的薄圆盘的电荷面密度为 σ\sigma，求过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点 PP 的场强。

圆盘可以看作无数个圆环叠加形成的。取一个半径为 rr 宽度为 dr\mathrm{d}r 的圆环，它的面积是 2πrdr2\pi r\mathrm{d}r，这个面积元可以这么算：

dS=π(r+dr)2−πr2=2πrdr\mathrm{d}S=\pi(r+\mathrm{d}r)^2-\pi r^2=2\pi r\mathrm{d}r

把 (dr)2(\mathrm{d}r)^2 忽略不计，也可以把这个圆环拉直看成长为 2πr2\pi r，宽为 dr\mathrm{d}r 的矩形。于是这个圆环对 PP 产生的场强为：

dE=xdq4πε0(x2+r2)32=xrσdr2ε0(x2+r2)32\begin{aligned} \mathrm{d}E&=\frac{x\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\\ &=\frac{xr\sigma \mathrm{d}r}{2\varepsilon_0(x^2+r^2)^\frac{3}{2}} \end{aligned}

所有圆环对 PP 产生的场强方向都相同，那么圆盘在 PP 产生的场强为：

E=∫0Rxrσdr2ε0(x2+r2)32=xσ2ε0∫0Rrdr(x2+r2)32=xσ2ε0∫0Rd(x2+r2)2(x2+r2)32=xσ2ε0(−1x2+r2)∣0R=σ2ε0(1−xx2+R2)\begin{aligned} E&=\int_0^R\frac{xr\sigma \mathrm{d}r}{2\varepsilon_0(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\\ &=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r\mathrm{d}r}{(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\\ &=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{\mathrm{d}(x^2+r^2)}{2(x^2+r^2)^\frac{3}{2}}\\ &=\frac{x\sigma}{2\varepsilon_0}(-\frac{1}{\sqrt{x^2+r^2}})\bigg|_0^R\\ &=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}) \end{aligned}

接下来考虑近似处理的方法。

近似处理

  • 当 x≪Rx \ll R 时，圆盘可以认为是无限大，那么 E=σ2ε0E=\cfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}，这里就不讨论方向了，主要看下面的情况。

  • 当 x≫Rx\gg R 时，并不能像上面那样直接令 x=0x=0 的形式令 R=0R=0，那么圆盘半径为 00 求出来的场强自然也为 00，不符合我们的要求。这里用上面图中标的角 θ\theta 进行推演：

    σ=qπR2=qπx2tan⁡2θE=σ2ε0(1−cos⁡θ)=q2πε0x2cos⁡2θ(1−cos⁡θ)sin⁡2θ=q2πε0x2cos⁡2θ1+cos⁡θ\begin{aligned} \sigma&=\frac{q}{\pi R^2}=\frac{q}{\pi x^2\tan^2\theta}\\ E&=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(1-\cos\theta)\\ &=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 x^2}\frac{\cos^2\theta(1-\cos\theta)}{\sin^2\theta}\\ &=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 x^2}\frac{\cos^2\theta}{1+\cos\theta}\\ \end{aligned}

    由于 x≫Rx\gg R，那么令 θ→0\theta\to0，得到：

    E=14πε0qx2E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{x^2}

    所以此时能把圆盘看作集中于圆心的点电荷，能用点电荷的场强计算式。